Les formules d’addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b et sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b constituent le socle de la trigonométrie en prépa. Elles interviennent dans la quasi-totalité des chapitres, du calcul algébrique aux nombres complexes, et reviennent de façon récurrente aux concours.
Décortiquer leur mécanique interne, comprendre pourquoi les signes changent et savoir les réinvestir dans des transformations produit-somme ou de linéarisation : voilà ce que couvre cet article.
Cos cos sin sin : structure algébrique des formules d’addition
La difficulté ne réside pas dans la longueur des formules, mais dans la logique des signes. Un tableau synthétique permet de visualiser les quatre variantes en une seule lecture.
| Formule | Développement | Signe central |
|---|---|---|
| cos(a + b) | cos a cos b – sin a sin b | – |
| cos(a – b) | cos a cos b + sin a sin b | + |
| sin(a + b) | sin a cos b + cos a sin b | + |
| sin(a – b) | sin a cos b – cos a sin b | – |
Le patron est régulier. Pour le cosinus, le signe central est l’opposé du signe dans l’argument : cos(a+b) donne un « -« , cos(a-b) donne un « + ». Pour le sinus, le signe central reproduit le signe de l’argument.
Autre repère : dans cos(a±b), les deux termes du développement sont homogènes (cos cos puis sin sin). Dans sin(a±b), les termes sont croisés (sin cos puis cos sin). Cette symétrie croisée est la clé de mémorisation la plus fiable.
Vérification sur les angles remarquables en trigonométrie
Appliquer les formules à des valeurs connues reste le meilleur test de cohérence. Prenons cos(π/3 + π/6).
On attend cos(π/2) = 0. Développons : cos(π/3)cos(π/6) – sin(π/3)sin(π/6) = (1/2)(√3/2) – (√3/2)(1/2) = √3/4 – √3/4 = 0. Le résultat tombe juste.
Prenons sin(π/4 + π/4). On attend sin(π/2) = 1. Développons : sin(π/4)cos(π/4) + cos(π/4)sin(π/4) = (√2/2)(√2/2) + (√2/2)(√2/2) = 1/2 + 1/2 = 1. Là encore, c’est cohérent.
Ce type de vérification prend quelques secondes en DS et permet de détecter une erreur de signe avant qu’elle ne contamine tout un calcul. En situation de concours, vérifier sur un angle remarquable coûte moins cher qu’une erreur de signe.
Formules de duplication dérivées de cos cos sin sin
Les formules de duplication ne sont pas des formules supplémentaires à apprendre : elles découlent directement des formules d’addition en posant b = a.
cos(2a) = cos a cos a – sin a sin a = cos²a – sin²a. Trois écritures en découlent grâce à cos²a + sin²a = 1 :
- cos(2a) = cos²a – sin²a (forme symétrique, utile pour factoriser)
- cos(2a) = 2cos²a – 1 (forme en cosinus seul, utilisée pour la linéarisation)
- cos(2a) = 1 – 2sin²a (forme en sinus seul, utilisée pour les intégrales de sin²)
Pour le sinus : sin(2a) = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a. Une seule forme, directe.
La linéarisation repose entièrement sur ces identités. Quand un sujet de concours demande de calculer une intégrale de cos²(x) ou sin²(x), la réécriture via cos(2x) transforme le problème en une primitive élémentaire.
Passage aux formules produit-somme
En combinant cos(a+b) et cos(a-b), on obtient par addition : cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b, soit cos a cos b = (1/2)[cos(a-b) + cos(a+b)].
Par soustraction : cos(a-b) – cos(a+b) = 2 sin a sin b, soit sin a sin b = (1/2)[cos(a-b) – cos(a+b)].
Pour le produit croisé, on additionne sin(a+b) et sin(a-b) : sin a cos b = (1/2)[sin(a+b) + sin(a-b)].
Ces transformations produit-somme apparaissent dès qu’un énoncé présente un produit de fonctions trigonométriques à intégrer ou à simplifier. Plutôt que de les mémoriser comme un bloc séparé, les retrouver à partir du tableau initial prend moins d’une minute.
Erreurs de signe fréquentes en prépa et comment les éviter
La majorité des erreurs sur ces formules proviennent de trois mécanismes récurrents :
- Confondre le signe central de cos(a+b) et sin(a+b). Le réflexe « cosinus = signe opposé, sinus = même signe » suffit à lever l’ambiguïté
- Oublier le facteur 2 dans sin(2a) = 2 sin a cos a, surtout quand la formule apparaît dans une étape intermédiaire d’un calcul de dérivée
- Appliquer la formule de duplication du cosinus sous la mauvaise forme : utiliser cos²a – sin²a quand le contexte demande 2cos²a – 1 (linéarisation) ou l’inverse
Un bon réflexe en DS : après chaque utilisation d’une formule d’addition, vérifier que le nombre de termes et les signes sont cohérents avec le tableau de référence. Cette relecture ciblée prend quelques secondes.
Lien entre formules d’addition trigonométriques et exponentielle complexe
En prépa, la trigonométrie prend une dimension nouvelle avec l’exponentielle complexe. La formule d’Euler e^(iθ) = cos θ + i sin θ permet de retrouver toutes les identités trigonométriques par simple multiplication.
e^(i(a+b)) = e^(ia) × e^(ib) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b). En développant et en identifiant parties réelle et imaginaire, on retrouve cos(a+b) et sin(a+b) en une seule opération.
Cette approche ne remplace pas la maîtrise directe des formules : les concours exigent souvent de manipuler les identités sans passer par les complexes, notamment dans les épreuves de première année. En revanche, elle constitue un outil de vérification rapide et un pont vers les séries de Fourier ou la modélisation de phénomènes périodiques (oscillations, signaux).
Les programmes de prépa scientifique soulignent d’ailleurs ce rôle de passerelle : la trigonométrie avancée, formules d’addition comprises, est mobilisée dans la modélisation d’oscillations et de vibrations, pas seulement comme un bloc de calcul abstrait.
Le fil conducteur de la trigonométrie en prépa tient dans ces quatre lignes du tableau initial. Toute formule dérivée, de la duplication aux produits-sommes, s’y ramène par addition ou substitution. Maîtriser ce mécanisme de dérivation plutôt que de mémoriser chaque identité séparément réduit la charge cognitive et fiabilise les calculs sous pression.
